قیمت گذاری گزینه های مانع در دارایی های زیربنایی با دینامیک پرش- انتشار: رویکرد تبدیل ملین

اختیار مانع یک قرارداد اختیاری وابسته به مسیر است که در آن حق خرید یا فروش زمانی فعال یا از بین می‌رود که دارایی پایه به قیمت مانع معینی در طول عمر قرارداد برسد. در این مقاله ما از یک رویکرد تبدیل ملین برای استخراج فرمول‌های قیمت‌گذاری دقیق برای گزینه‌های مانع با بازده عمومی و موانع نمایی در دارایی‌های اساسی که دارای پویایی پرش- انتشار هستند، استفاده می‌کنیم. با همین رویکرد، گزینه های مانع را نیز در قراردادهای آتی پایه قیمت گذاری می کنیم.

1. مقدمه

اختیار خرید اروپایی یک قرارداد مالی است که به دارنده آن این حق را می دهد، اما نه تعهدی، برای خرید دارایی پایه از نویسنده با قیمت توافقی توافق شده در تاریخ انقضای از پیش تعیین شده. گزینه فروش اروپایی مشابه است اما به جای آن حق فروش را می دهد. نمونه هایی از دارایی پایه، یا به سادگی دارایی پایه، سهام یا قراردادهای آتی هستند.

گزینه ها عمدتاً برای سفته بازی و پوشش ریسک استفاده می شوند. برای مثال، سرمایه‌گذاری که معتقد است قیمت سهام برای یک سهم خاص در یک ماه آینده افزایش می‌یابد، ممکن است با خرید یک اختیار خرید در آن سهام، سرمایه‌گذاری کند. از سوی دیگر، سرمایه‌گذاری که قبلاً سهام یک سهام خاص را در اختیار دارد، ممکن است با تصمیم به خرید گزینه فروش برای به حداقل رساندن خطر زیان احتمالی، در برابر سقوط موقت قیمت سهام بیمه شود.

در زمانی که قرارداد اختیار معامله توافق می شود، دارنده باید مبلغ معینی را که به عنوان قیمت اختیار معامله حق بیمه یا زمان صفر شناخته می شود، به نویسنده بپردازد. ارزش گذاری اختیار معامله، یا قیمت گذاری اختیار، مشکل اساسی تعیین قیمت منصفانه برای این حق بیمه است. برای قراردادهای به سبک اروپایی، عبارات تحلیلی برای تماس و حق بیمه توسط فرمول بلک شولز برنده جایزه نوبل ارائه می شود [1].

گزینه های Call و Put را می توان با توابع به اصطلاح پرداخت آنها مشخص کرد. ما یک تابع بازده را با g نشان می دهیم: R + → R، که در آن R + = (0، ∞)، که معمولاً به صورت تکه ای خطی است. اگر S ( T ) قیمت دارایی در تاریخ انقضا T و K قیمت اعتصاب باشد، پس پرداخت های تماس و قرار داده شده g ( S ( T ) ) = ( S ( T ) - K ) + و g ( S (T ) ) = ( K − S ( T ) ) + به ترتیب، که در آن ( z ) + = max ( z , 0 ) برای هر z ∈ R . بنابراین توابع فراخوانی و بازپرداخت مربوطه g ( x ) = ( x - K ) + و g ( x ) = ( K - x ) + هستند.

گزینه ها جذاب هستند زیرا می توان از آنها برای ایجاد طیف گسترده ای از استراتژی های معاملاتی استفاده کرد که با عملکردهای مختلف بازده مشخص می شوند. فرض کنید که K 1< K 2 < K 3 < K 4 . Denote the usual indicator function of a set A by 1 A , i.e., 1 A ( x ) = 1 if x ∈ A and 1 A ( x ) = 0 if x ∉ A . Some popular trading strategies with their corresponding payoff functions are given in Table 1 (see Hull [2] and Wilmott et al. [3] for more details):

جایی که S =< S ( t ) : t ≥ 0 >فرآیند قیمت دارایی اساسی است و W =< W ( t ) : t ≥ 0 >is a Wiener process with respect to the risk-neutral measure. Here, the risk-free rate r , the dividend yield D , and the volatility σ are assumed to be constants with r , σ >0 و D ≥ 0. قیمت اختیار عمومی اروپایی در زمان t را با V (t) و تابع سود مربوطه را با g نشان دهید. بنابراین در انقضا V (T) = g (S (T)) داریم. به خوبی شناخته شده است که V (t) = v (S (t)، t)، که در آن تابع قیمت گذاری گزینه v = v (x، t) معادله دیفرانسیل جزئی بلک-اسکولز (PDE) را برآورده می کند.

حق بیمه با تنظیم V (0) = v (S (0) ، 0) به دست می آید که در آن S (0) قیمت دارایی شناخته شده امروزی است.

در حالی که حرکت هندسی براونیان فرض شده در مدل قیمت دارایی سیاه و سیاه (1) مناسب است ، نمی تواند بسیاری از ویژگی های بازده قیمت دارایی را ضبط کند ، به عنوان مثال ، ویژگی های پوستی/لبخند سطح نوسانات ضمنی. در صورت عدم پرداخت سود سهام ، مرتون [4] یک فرآیند پرش را در نظر گرفت که امکان تغییر قیمت دارایی را بدون توجه به فاصله زمانی بین مشاهدات پی در پی تغییر می دهد. پرش در قیمت دارایی را می توان با معرفی منبع اضافی عدم اطمینان در پویایی قیمت دارایی گنجانید. مطالعات تجربی نشان داده است که قیمت دارایی بهتر توسط یک فرآیند با یک مسیر نمونه ناپیوسته توصیف می شود (به عنوان مثال ، Rosenfeld [5] ، Jarrow و Rosenfeld [6] ، Ball and Torous [7] ، و Brown and Dybvig [8]). Cont و Tankov [9] نشان داد که برخلاف مدل های انتشار استاندارد مانند (1) ، مدل های پرش از ساختار غنی از توزیع بازده دارایی و سطوح نوسانات ضمنی تولید می کنند.

برای پاسخ به احتمال پرش های فوری در قیمت دارایی ، مرتون [4] با فرض اینکه پرش های ناپیوسته به عنوان یک فرآیند پواسون وارد می شوند ، اصلاح زیر را پیشنهاد می کنند (در اینجا ما پرداخت های سود سهام را در بر می گیریم):

d s (t) = [r - d - λ e (y - 1)] s (t) d t + σ s (t) d w (t) + (y - 1) s (t) d n (t)با

جایی که y یک متغیر تصادفی مداوم غیر منفی با y - 1 است که نشان دهنده تغییر ضربه در قیمت دارایی از S (t) به y s (t) در نتیجه پرش است ، e اپراتور انتظار است و n =< N ( t ) : t ≥ 0 >یک فرآیند پواسون با شدت ثابت λ است و به گونه ای که d n (t) = 1 (به ترتیب ، d n (t) = 0) با احتمال λ d t (به ترتیب ، 1 - λ d t). فرض بر این است که w (t) ، n (t) و y برای هر t مستقل هستند و پرش قیمت دارایی به طور مستقل و یکسان اتفاق می افتد. مشابه با PDE سیاه و سفید (2) ، می توان نشان داد که عملکرد قیمت گذاری گزینه اروپایی V معادله یکپارچه جزئی و قطعی جزئی سیاه و سفید را برآورده می کند (PIDE)

و f y عملکرد چگالی احتمال y است. با استفاده از تکنیک های تبدیل ملین از رودریگو و مامون [10] ، لی و رودریگو [11] مورد مطالعه قرار گرفتند (4) و فرمول های دقیق قیمت گذاری برای گزینه های اروپایی با بازپرداختهای عمومی مانند جدول 1 پیدا کردند. و برای یافتن فرمول صریح برای نوسانات ضمنی استفاده می شود. در همین راستا ، رودریگو و گارد [12] در نظر گرفته شده (4) با زمان متغیر D و فرمول های قیمت گذاری دقیقی برای گزینه های اروپایی در دارایی های سود سهام گسسته به دست آوردند.

گزینه Barrier یک قرارداد گزینه وابسته به مسیر عجیب و غریب است که در آن حق خرید یا فروش فعال می شود (در صورت گزینه مانع ضربه) یا خاموش (در صورت گزینه مانع حذفی) وقتی که زیربنایی می رسدقیمت خاص مانع در طول عمر قرارداد. اگر این گزینه غیرفعال یا خاموش شود ، ممکن است بی ارزش باشد یا ممکن است تخفیف نقدی پرداخت شود. از آنجا که فرصت های بازپرداخت محدودتر است ، گزینه مانع ارزان تر از گزینه مشابه اروپایی است. موانع به طور کلی ثابت هستند اما می توان موانع وابسته به زمان را نیز در نظر گرفت. دلیل منطقی برای گزینه مانع فراهم کردن پرچین در حق بیمه پایین تر از گزینه معمولی است.

نتایج بسیاری در ادبیات آکادمیک در مورد گزینه‌های مانعی که به طور مداوم نظارت می‌شوند، وجود دارد. یکی از اولین‌ها به کار مرتون [13] برمی‌گردد، که راه‌حلی بسته به قیمت تماس‌های اروپایی که به‌طور مداوم نظارت می‌شد، ارائه کرد. یک رویکرد، عمدتاً برای موانع ثابت، استراتژی‌های پوشش ریسک را برای مشتقات به سبک اروپایی شناسایی می‌کند که به طور منحصربه‌فرد تعیین می‌کنند یا محدوده قابل قبولی را برای قیمت اختیار مانع ارائه می‌کنند (به عنوان مثال، Carr و همکاران [14] و براون و همکاران [14] را ببینید. 15]). یک پرچین ایستا با استفاده از فراخوانی ها و قرار دادن ها برای گزینه تک مانع وابسته به زمان توسط اندرسن و همکاران ارائه شد.[16]. نتیجه آنها همچنین برای انتشار خطی با پرش های پواسون مرکب اعمال می شود، اما استراتژی پوشش به دانستن مقادیر قرارداد مانعی که در زمان های معینی قبل از انقضا باید پوشش داده شود، بستگی دارد. Geman و Yor [17] از یک رویکرد احتمالی برای گزینه های مانع دوگانه ثابت در مدل بلک شولز استفاده کردند. کونیتومو و ایکدا [18] روشی را برای قیمت گذاری گزینه های مانع وابسته به زمان در مدل بلک شولز با کمک چگالی مشترک دارایی و حداکثر و حداقل آن معرفی کردند. روش‌های شبکه توسط بویل و لاو [19] و ریچکن [20] استفاده شد، در حالی که روش‌های تفاضل محدود و اجزا محدود توسط بویل و تیان [21] و زوان و همکاران استفاده شد.[22] به ترتیب.

نتایج اخیر در گزینه‌های مانع دوگانه وابسته به زمان شامل بسط‌های سری فوریه (Hui و Lo [23])، توابع گرین (Dorleitner و همکاران [24]) و تبدیل‌های لاپلاس (Pelsser [25]) است. داویدوف و لینتسکی [26] از روش های طیفی برای به دست آوردن قیمت گزینه های مانع دوگانه ثابت در مدل های کشش واریانس ثابت استفاده کردند. روش عنصر مرزی برای استخراج یک نمایش کامل از قیمت اختیار مانع در گوارداسونی و سانفلیچی [27] و شن و هسیائو [28] تحت چارچوب بلک شولز استفاده شد. در گوارداسونی و سانفلیچی [29] تحت نوسانات و جهش های تصادفی. و در Ballestra et al.[30] تحت یک حرکت براونی کسری مختلط. بوخن و کنستانداتوس [31] روشی از رویکرد تصاویر را برای قیمت گذاری گزینه های مانع دوگانه با موانع نمایی پیشنهاد کردند و نتایج را توسط بوخن [32] برای موانع ثابت منفرد گسترش دادند.

بسیاری از گزینه‌ها نه محصول نقدی، بلکه قرارداد آتی مربوطه را پایه‌گذاری می‌کنند که اغلب نقدشونده‌تر است و هزینه‌های مبادله کمتری را شامل می‌شود [3]. به یاد بیاورید که یک قرارداد آتی که در زمان t∗ منعقد شده است، قراردادی است که دارنده آن مبلغ قطعی F (t∗؛ T∗) (معروف به قیمت آتی) را در تاریخ تحویل T∗ به نویسنده می پردازد و سپس تصادفی را دریافت می کند. مقدار S (T∗) در همان زمان. تحت پویایی قیمت دارایی (1)، مشخص است [3] که

می توان نشان داد [2،33] که وقتی نرخ های بهره قطعی هستند، قیمت قرارداد آتی همان قیمت قرارداد آتی است. سپس می‌توان یک گزینه اروپایی، با تابع پرداخت g و تاریخ انقضا T را در یک قرارداد آتی در یک دارایی با فرآیند قیمت S برآورده کننده (1) و با تاریخ تحویل T* در نظر گرفت به طوری که T< T ∗ . Thus the payoff of a European option on a futures contract is

در مورد فراخوانی، که در آن g ( x ) = ( x − K ) +، سپس پس از تغییراتی برای گنجاندن D فرمول به اصطلاح "Black-76" [34] به دست می آید.

هدف اصلی این مقاله استفاده از رویکرد تبدیل ملین به گزینه های سد قیمت با بازپرداخت عمومی است که زیربنای آن توسط دینامیک پرش-دیفوژن مدل می شود (3). استفاده از تبدیل ملین در قیمت گذاری گزینه توسط نویسنده حاضر در یک سری از مقالات ساخته شده است [10،11،12،35،36]. در صورت عدم وجود پرش (به عنوان مثال ، λ = 0 در (4)) ، ما چارچوب کلاسیک سیاه و رنگی (1) را بازیابی می کنیم. در حقیقت ، مشکل قیمت گذاری گزینه سد مربوطه توسط گارداسونی ، رودریگو و سانفلیچی در [36] در نظر گرفته شد ، جایی که از تبدیل ملین برای قیمت گذاری گزینه های یک و دو سد استفاده شده است. اگرچه نتایج در [36] برای موانع وابسته به زمان عمومی قابل اجرا است ، لازم است معادله انتگرال ولترا خطی مرتبط با نوع اول (یا یک سیستم همراه از دو معادله یکپارچه خطی ولترا خطی از نوع اول برای موانع مضاعف) حل شود. واداین انتگرال را نمی توان به صورت تحلیلی حل کرد و باید به یک تقریب عددی متوسل شد. در این مقاله ، ما پرش ها را مانند (3) گنجانیده ایم ، اما تنها موانع نمایی را شبیه به آنچه در بوخن و کنستستاتوس مورد مطالعه قرار گرفته است ، در نظر می گیریم [31]. توجه داشته باشید که این شامل موانع ثابت به عنوان یک مورد خاص است. ما همچنین از یک تکنیک تبدیل Mellin استفاده خواهیم کرد اما از معرفی معادلات انتگرال Volterra در نوع اول خودداری خواهیم کرد.

هدف ثانویه این مقاله ، بدست آوردن ، با همان میزان کار ، فرمول های قیمت گذاری دقیق برای گزینه های سد با بازپرداخت است که شامل جدول 1 است اما وقتی زیربنایی یک قرارداد آتی است ، با احتمال پرش در دارایی مربوطهوادبه دانش من ، حتی در صورت عدم وجود جهش ، گزینه های مانع در مورد آینده قبلاً در این چارچوب کلی مورد توجه قرار نگرفته است ، اما رویکرد پیشنهادی تبدیل ملین می تواند چنین گزینه های عجیب و غریب را با یا بدون پرش در پویایی قیمت دارایی مرتبط با قرارداد آتی انجام دهد. واد

طرح کلی این مقاله به شرح زیر است. در بخش 2 ما به یاد می آوریم و همچنین برخی از نتایج اولیه را شامل می شود که شامل هسته سیاه و سیاه و سفید و عملکرد پرش با هدف استفاده از اینها برای به دست آوردن عملکرد قیمت گذاری گزینه اروپایی در هنگام رفتار زیرین مطابق با پویایی پرش است. ما همچنین راه حل های عملکرد تصویر را در مورد پرش-هجوم می یابیم که برای گزینه های سد قیمت مورد نیاز است. در اینجا دلیل انتخاب سد نمایی مشهود خواهد بود. ما مشکل قیمت گذاری گزینه Barrier را در بخش 4 شکل می دهیم. گزینه های مانع حذفی در بخش 4 در نظر گرفته می شوند در حالی که بخش 5 با گزینه های Knock-In سروکار دارد. نمونه های مصور برای هر دو نوع نیز آورده شده است. ما در مورد نحوه قیمت گزینه های آینده در بخش 6 و اظهارات مختصر نتیجه گیری در بخش 7 بحث می کنیم.

2. نتایج اولیه

where c 0 , c 1 , c 2 ∈ R with c 2 >0 ، و i (v ؛ f y) اپراتور انتگرال است که در (5) تعریف شده است. توجه داشته باشید که λ = 0 L 0 را به یک اپراتور دیفرانسیل از نوع سیاه و سفید کاهش می دهد. اگر دینامیک دارایی زیرین توسط (3) داده شود ، از (4) می بینیم که c 2 = σ 2 /2 ، c 1 = r - d و c 0 = - r. از طرف دیگر ، برای گزینه های آینده ، اگر ما تعویض v (x ، t) = v ¯ (x ¯ ، t ¯) را به (4) تبدیل کنیم ، جایی که x ¯ = x e (r - d) (t ∗ - -t) و t ¯ = t (cf. (6)) ، سپس ما پیید را بدست می آوریم

که از فرم (8) با c 2 = σ 2 /2 ، c 1 = 0 و c 0 = - r است. ما مشاهده می کنیم که وقتی λ = 0 ، (9) برای گزینه های قیمت گذاری در آینده به PDE ساده می شود. به عنوان مثال ویلموت و همکاران را ببینید.[3]ما در بخش 6 به قیمت گذاری گزینه های آینده باز خواهیم گشت.

برای راحتی خواننده ، ما در اینجا برخی از نتایج مربوط به تبدیل ملین را خلاصه می کنیم (به عنوان مثال ، ([37] ، صص 362-363) یا [38] را ببینید). تبدیل ملین یک تابع f: r + → r است

همگرایی نادرست انتگرال را در شماره پیچیده ξ فراهم کرد. این تبدیل برای معادلات از نوع سیاه و سفید به دلیل خاصیت زیر برای مشتقات F ، یعنی ، مفید است